题目呈现:请用几何方法和代数方法化简下图所示的代数式。
审题:题目要求化简一个分式,难点在于分母有理化,之后再整理化简。
几何方法和代数方法相比较,代数方法容易构思,更简单一些。从易到难,先用代数方法化简。
解题思路:一般而言,对于形如
的式子,只需分子和分母同时乘以√b即可分母有理化。对于形如
的式子,只需分子和分母同时乘以分母的共轭根式
那么就可以用平方差公式把分母有理化。同理,形如
的式子,分母包含三个二次根式,我们可以通过两次运算,把分母有理化。譬如,我们首先把分子和分母同时乘以
分母变为
或
然后,我们再把分子和分母同时乘以
分母变为(b c-d)²-4bc,就是有理数了。
解题过程请看下图:
接下来我们研究一下本题的几何解法。请看题图24
作一个Rt△ABC,使a=√2,b=√3,c=√5,则半周长
内切圆半径
由面积公式有2ab=2√6=4S△ABC=4rp
得
本题的几何解法颇为巧妙,给读者一种高级的精神享受。几何解法来自罗增儒教授的著作《数学的领悟》。