今天我们来讨论一个有趣的问题。
求值:√2^√2^√2^√2^…=?
我们首先搞清楚第一个问题,这个式子是如何计算的?
无限个√2太复杂了,我们以3个√2为例来进行说明。
a^b^c=a^(b^c)
a^b^c≠(a^b)^c=a^(bc)
特别强调,计算a^b^c是从上往下算的,而不是从下往上算的!
√2^√2^√2=√2^(√2^√2)
√2^√2^√2≠(√2^√2)^√2
=√2^(√2×√2)=√2^2
√2^√2^√2=√2^(√2^√2)
可能有人会有疑问
那么√2^√2=?,应该如何计算?
答案非常令人意外,√2^√2的值目前还无法精确计算,只能利用√2的近似值去进行逼近。甚至,目前人们连√2^√2到底是无理数还是有理数都无法给出准确定论。
那么问题来了,既然√2^√2无法精确计算,我们又怎么能够计算出√2^√2^√2^…呢?
真实情况非常反直觉,虽然√2^√2无法精确计算
但是√2^√2^√2^…却可以求出其精确值。
接下来,我们来解决第二个问题:
√2^√2^√2^…这个式子的含义是什么?
式子里面的省略号代表有无限个√2的√2次方,我们可以把这个式子看成一个数列的极限值。
√2,√2^√2,√2^√2^√2,…
这个数列的通项
an=√2^√2^…^√2,【n个√2】
√2^√2^√2^√2^…=lim(an)
=lim√2^√2^√2^…^√2,n→∞
搞清楚了这个式子的含义,接下来还不能着急去求值,我们必须要先证明这个数列的极限是存在的,也就是收敛的。
我们应该如何去证明一个数列是收敛的呢?
这就需要利用到一个非常重要的定理:单调有界定理。
单调有界定理:如果一个数列是单调并且有界的,那么这个数列必存在极限。
一、有界性
对于数列{an}
若an≤M,则{an}有上界;
若an≥M,则{an}有下界;
若∣an∣≤M,则{an}有界;
求证:an=√2^√2^√2^…^√2
【n个√2】,{an}有上界
证明:a1=√2<2
a2=√2^√2<√2^2=2
a3=√2^√2^√2=√2^(√2^√2)
<√2^2=2
…………
以此类推,容易证明
an<2
严格证明可采用数学归纳法,这里略去不讲。
所以,{an}有上界为2,证毕!
二、单调性
对于数列{an}
若a(n 1)≥an,则{an}单调递增;
若a(n 1)≤an,则{an}单调递减;
求证:an=√2^√2^√2^…^√2
【n个√2】,{an}有上界
证明:
an=√2^√2^…^√2,【n个√2】
a(n 1)=√2^√2^…^√2^√2
【(n 1)个√2】
=√2^√2^…^√2^(√2^√2)
>√2^√2^…^√2^(√2^1)
=√2^√2^…^√2,【n个√2】
=an
a(n 1)>an
所以,{an}有单调递增,证毕!
综上,数列{an}有单调递增有上界为2。
根据单调有界定理:
数列{an}必存在极限,且极限小于等于2。
到这里,我们终于证得此极限存在,接下来我们来求出这个极限。
求值:√2^√2^√2^√2^…=?
解:设a=√2^√2^√2^√2^…
很显然,a>0
前面已证,a≤2
0<a≤2
a=√2^√2^√2^√2^…
=√2^(√2^√2^√2^…)
=√2^a
a=√2^a
作一次函数y=x和指数函数y=√2^x的图像
容易观察,两个函数的图像最多有两个交点。
进一步观察,容易发现
a=2和a=4是方程a=√2^a的两个根
√2^2=2
√2^4=√2^(2×2)=(√2^2)^2=2^2=4
a=2或a=4
0<a≤2
a=4>2,舍掉
a=2,成立
√2^√2^√2^√2^…=2
补充说明:
对于方程a=√2^a,0<a≤2
也可对函数f(a)=a-√2^a求导
得出f(a)在(0,2]上单调递增
从而得出方程只有一个根:a=2
总结一下:
①对于无限次运算的表达式,首先视为一个数列的极限值;
②分别证明这个数列的单调性和有界性;
③根据单调有界定理确定这个极限的存在性;
④求出这个极限值。
最后,给大家留一个思考题。
求值:√{6 √[6 √(6 …)]}=?
答案可前往我的主页进行查找。