有这么一种说法：“某某老师很厉害，他可以不用备课而随时上课。”著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他展现的思维过程却让学生受益匪浅。
追根溯源，希尔伯特的老师、著名德国数学家富克斯教授在为希尔伯特上线性微分方程时，就采用了这样一种教学风格。富克斯对所讲的内容总是先讲现推，这使希尔伯特和他的同学们看到了数学家创造性活动的思维过程。
富克斯上课不备课却对希尔伯特产生了积极地影响——富克斯效应。但要注意，教授的教学内容是他的研究成果和研究方法。他不是不备课，而是以学术研究的方式备课。我们提出这样的口号：
“战场上，不打无准备之战！课堂上，不上不被之课！”
备课并不是要把教材背熟，而是要设法让学生看到数学的思维过程。数学教学是强调数学素养，不是强化应试训练；是以过程为核心，不是以结论为核心；是展示思维过程，不只是传授数学知识理论。那么如何备好课呢？数学备课问题，用专业术语来讲，就是数学教学设计的问题。
我们应该做到：
1、洞察数学教学的本质；
2、了解数学教学设计的理念、思路、理论依据；
3、理解数学教学三维目标设计的内容，能清楚区分三维目标的层次；
4、了解教学内容分析和学生分析的思路；
5、熟悉教案编写的项目。
不管是哪一个层次、哪一阶段的数学教学，都是由教师、学生、教学内容和教学目标这4个要素组成的一个系统。数学教学系统中存在着许多矛盾。比如说学生的实际水平和教学目标之间的差异构成的矛盾、学生和教学内容之间的矛盾、教师的教与学生的学之间的矛盾、教师和教学内容之间的矛盾等。在这些矛盾中，学生的实际水平和教学目标之间的差异所构成的矛盾是数学教学系统最核心的矛盾。它决定着数学教学过程的性质和层次，规定和影响着其他矛盾的存在和发展。
首先，这个矛盾决定着数学教学过程的存在、层次，并贯穿于一切数学教学过程的始终。学生之所以参加数学教学活动，就是因为学生的实际水平和教学目标之间存在着差异。教学的目的就是为了缩小这个差异，一旦这个差异被消除，原来的教学过程就完结，学生的水平得到提高。但是，当向学生提出更高的教学目标要求时，新的差异就产生了，学生又转入新的、更高层次的教学系统。随着数学教学目标的不断升级，数学教学系统就不断得到升级。当体现课程目标的各种教学目标得以实现后，即“差异”得以消除，一个阶段的教学过程就此结束，学生就毕业或者进入社会。当社会对他提出更高的要求是，新的差异就会产生，学习者又重新回到教学活动中来。比如说各种职业培训、在职教育就属于这种情况。因此，学生的实际水平与教学目标之间的差异是教学过程存在的根本原因。
来源：以科学的方式学数学
