■曹广福
数学真的威力无穷吗？作为一个数学人，提出这样的问题似乎有点不妥，但的确我们应该理智地看待数学，因为作为促进科技进步的数学从来都是小众化的。当然，普通人多了解一点数学对工作与生活也不无帮助，但这种了解绝不是知道几个数学概念和会解答几道数学题。
套用一句老话，“数学不是万能的，但没数学是万万不能的”。这句话既应景，也很有道理。为什么说数学不是万能的？因为数学难以企及的东西还有很多，比如，数学模型很难预测地震，也难以给风险一个有效的度量方法。不过，没数学也是万万不能的。关于这个问题要从两个层面来看，一个是个体层面，另一个是社会层面。从个体层面看，懂不懂数学还是有点区别的，这种区别并不在于你是否懂得数学的思维方式。
那么，什么是数学的思维方式？有人或许会说：“你不就是想说用逻辑思考嘛！”错，数学并不只讲逻辑，有时候甚至会不讲道理。数学的思维方式有三个层次：直觉、思辨、逻辑。直觉是基于经验（发散式）或先天性感悟能力的一种不完全归纳，它的典型表现形式就是猜想，即根据有限的现象猜测一般规律。辨析则是根据猜测进一步寻找佐证，寻找的过程就是多角度试错的过程，通过试错（也叫证伪）过程进一步肯定或否认你的猜测。在此基础上，通过有条理的梳理澄清猜测的真伪，这就是所谓的数学思维。
概括起来，数学思维是一个从“发散”到“不完全归纳”再到“试错”最后到“肯定”的过程。它几乎适用于对任何问题的思考，换句话说，它是一种普适的思维模式。很多人往往停留在不完全归纳阶段，所谓“听风便是雨”指的就是这类人，由于各种原因使得很多人无法完成“试错”与“肯定”过程。无论是自然界还是社会，这类现象比比皆是。
上述思维模式是数学思维的初级模式，即使对数学不是很了解的人，只要有一定的感悟力与经验积累也能做到。而数学思维的高级模式则是抽象与量化模式，这种模式需要在现实与数学的鸿沟上架设一座桥梁，让你可以通过这座桥梁从现实走进数学，在数学世界里寻找你需要的东西再回到现实中，你寻找的数学便是解决现实问题的利器。建这座桥梁的人不仅要精通数学，也要明了现实中需要解决的问题，他主要的任务不是创造数学，而是运用数学，当然，也有可能在解决问题的过程中发明新的数学。
从社会层面看，数学是推动社会进步的有力武器，任何科技的进步都离不开数学的推动。关于这个问题无需我说得太多，历史与现实已经加以证实。
然而，人们往往误解了数学的神奇，以为学会数学就可以无敌于天下，甚至有人认为成为数学解题高手就是学会了数学。这都是对数学的误解。数学好比催化剂，它可以改变化学反应速率但不改变化学平衡。不过，它又不等同于催化剂，因为在化学反应过程中，这种催化剂本身无论是质量还是化学性质都有可能发生改变，这就是新数学的诞生。而新数学的诞生与发展又有可能为未来的科技创造辉煌。
而分歧往往就在这个时候产生。任正非先生所说的数学之重要是指数学的催化作用，丘成桐先生所说的数学之重要则是数学自身质量与化学性质的改变，或者说数学自身的发展。前者是应用数学或数学应用，后者则是纯数学。纯数学的产生可能来自现实，也有可能来自数学内部（如康托尔的集合论）。
可以说，没有纯数学的发展不可能有应用数学与数学应用的辉煌。今天的应用数学有可能是昨天的纯数学（如高斯与罗巴切夫斯基的非欧几何成为相对论的基础），今天的纯数学也有可能成为明天的应用数学。从这个意义上说，一个国家不仅需要面向技术研发的一流应用数学家，更需要养一群“没用”的纯数学家，正是这些“没用的人”有可能创造未来的辉煌。
总之，我们应该正确理解国家对数学重视的意义，数学教育的重要性不是增加或减少多少数学知识，而是教什么样的数学。数学教育的最终目的是教人学会思考并解决问题。
《中国科学报》 2019-09-23 第8版 博客
